Nombres naturels

• Numération décimale. Écriture et décomposition d'un nombre ; ordre sur les naturels (utilisation des signes < , > et = ) ; nombres consécutifs.
Il n'y a pas de nombre plus grand que tous les autres puisqu'on peut toujours ajouter 1.
• Calcul dans l'ensemble des naturels :
- calcul mental exact : somme de deux nombres à deux chiffres, avec une retenue au maximum ; tables de multiplication;

[Innovation : les tables de multiplication sont "du calcul" ; dans les temps héroïques, les tables de multiplication n'étaient pas du calcul mais servaient à faire du calcul ; on se demande effectivement maintenant à quoi elles servent]

division exacte issue des tables de multiplication ;

[Même remarque que précédemment : ça s'appelait les tables de division. Ce n'était pas du calcul et on devait le savoir par coeur]

soustraction d'un nombre à un chiffre ;

[Ça, c'était les tables de soustraction. A savoir par coeur : mais le fait de savoir par coeur est probablement un "dressage" incompatible avec les "maths citoyennes". Question pour les trois tables citées : Que signifie réellement dans la pensée des concepteurs le fait que ces tables soient du "calcul"?  Ou "Comment calcule-t-on mentalement 8 x 7 ?"  Est-ce que l'affirmation détournée du fait qu'il ne faut plus savoir par coeur les tables d'opération ?]

- calculs écrits : addition et soustraction des entiers et des décimaux ; multiplication de deux entiers et d'un entier et d'un décimal, avec retenues ;
- calcul mental approché (ordre de grandeur prévisible d'un résultat) ;
- lecture et interprétation du résultat donné par une calculette (pour chacune des quatre opérations).

[Question : Puisque les élèves ont le droit de se servir d'une calculette, si un élève s'amuse à remplir l'écran de sa calculette de 9 et qu'il multiplie par 9 –  je prends cet exemple par simplification mais il y en a des milliards d'autres – , que doit faire le Professeur des écoles ? Lui dire que c'est interdit de faire afficher sur sa calculette des résultats qu'il ne peut pas comprendre ?  Lui dire de la faire à la main pour comprendre ce qui est affiché, au risque de se livrer à "un exercice de virtuosité technique"  interdit même en sixième/cinquième ? Alors que ce problème existe depuis 20 ans, il n'y a aucune directive sur le sujet car il ne peut pas y en avoir lorsque l'on décide de mettre à la disposition d'un individu quelconque un appareil qui automatise une technique sans que cet individu connaisse et cette technique et le fonctionnement de la machine. J'ai une petite solution, pour le niveau sixième, et en se limitant au problème de l'affichage, mais qui oblige à faire une partie du cours de quatrième en sixième que l'on trouve à ref**]

Les fautes de frappe peuvent être commises aussi bien sur un traitement de texte ou une calculette. Le maître amène les élèves à se demander :
- pourquoi une faute de frappe se voit mieux sur un mot que sur un nombre,
- quelles sont les fautes de frappe qu'un traitement de texte laisse échapper,
- pourquoi il n'existe pas un correcteur de nombres comme il existe un correcteur d'orthographe,
- comment on peut contrôler le résultat donné par une calculette.
Seul le calcul mental de l'ordre de grandeur permet de rectifier des erreurs importantes
 
[Ils ont dit :
- les erreurs importantes : il y a donc des erreurs non importantes
- que le calcul mental est le seul qui permet de ..... car le calcul écrit –  qui permet justement aussi –  a disparu et on ne peut plus donc affirmer qu'il pourrait être utile]

dues aux éventuelles fautes de frappe sur la calculette. Il est donc fondamental d'habituer l'élève à contrôler le résultat de sa machine par un calcul mental arrondi de son ordre de grandeur.

[Prenons un exemple :
Soit à calculer 751 x 56 dont le résultat exact est 42 056. L'élève se trompe et tape 781 (car le 8 est au dessus du 5) x 56 qui vaut 43 736.
Il fait un "calcul mental arrondi de son ordre de grandeur" , c'est-à-dire 700 x 50 = 35 000 ou 700 x 60 = 42 000, et s'il est très sérieux il calcule de plus 800 x 50 = 40 000 et 800 x 60 = 48 000.
Il ne voit donc pas une erreur de 43736 - 42056 = 1680 sur 42 056 c'est-à-dire une erreur de 4 %.
On peut donc dire qu'une erreur de 4 % n'est pas, du point de vue de la nouvelle définition légale, une erreur importante.
Poursuivons : si une autre "erreur de frappe" lui donne un résultat compris entre 35 000 et 48 000, on peut donc considérer qu'une erreur de 7 000 sur 42 000 devient une erreur non importante, ce qui définit un taux d'erreur acceptable de 16 %. Quand va-t-on afin admettre que les erreurs de placement de virgules avec décalage d'un chiffre qui, sur un nombre sans unités, peuvent être des "fautes d'inattention", mais qui représentent des erreurs de 900% sont des erreurs non importantes. Pour le moment on tient, mais que nous réserve l'avenir ?]

• Problèmes
- relevant de l'addition, de la soustraction, de la multiplication, de la division.

La division

L'existence des calculettes oblige à reconsidérer globalement l'apprentissage de la division.

[Soyons plus précis : il ne s'agit pas de "l'existence des calculettes" qui ne sont pas des êtres de volonté qui se sont subrepticement introduites dans les salles de cours sans avoir eu l'autorisation mais de leur utilisation en classe qui est l'objet de recommandations anciennes et répétées conseillant d'utiliser la calculette sans que les élèves sachent calculer et sans en analyser les conséquences]

Alors que les techniques de l'addition, de la soustraction et, de façon plus délicate,

[On aimerait des précisions sur la "délicatesse" : on peut considérer que la relation qui semble être faite est que, plus l'opération est difficile à exécuter, moins son exécution pratique a de sens alors que, en fait, la complexité technique des opérations est liée à la complexité de ce qu'elles représentent en tant qu'opérations. C'est parce que la division est plus "compliquée" que l'addition que sa technique est "plus compliquée". Il s'agit en fait de l'aplatissement des rédacteurs devant la baisse de niveau en calcul qu'ils ont contribué à développer. Comme la division est la plus difficile, puisqu'elle suppose la maîtrise –  technique et au niveau du sens –  des autres opérations dont elle conditionne à son tour la maîtrise, il est urgent de prétendre que son exécution n'a pas de sens. Dans la suite de cette logique et  si l'abandon de la division se confirme pratiquement, ce qui est la voie facile, il n' y aura pas de baisse de niveau puisque :
1) sa pratique sera considérée comme inutile
2) il suffira de ne pas tester cette "compétence" -,
cet abandon produira une baisse des compétences sur la pratique de la multiplication qui sera considérée de manière "non délicate" comme n'apportant pas de sens et pourra donc être abandonnée à son tour.]

la technique de la multiplication permettent d'enrichir le sens

[Ça, c'est le signe de la distinction bourdieusienne qui permet aux cognitivistes de se reconnaître entre eux]

que les élèves donnent à chaque opération, il n'en est pas de même pour la division. Apprendre à faire une division est un travail formel qui n'éclaire pas le sens de cette opération

[Bien sûr, on n'explique pas pourquoi et, en plus, on va dire le contraire plus bas]

et qui par ailleurs prend beaucoup de temps.

[Celui qui invente la méthode qui permet d'apprendre immédiatement et sans effort a gagné ; car il apprend simultanément  à l'élève comment être un parasite social, ce qui n'a aucune raison de diminuer la valeur marchande du diplôme puisque tout le monde a  personnellement rencontré des parasites placés assez haut dans la susdite hiérarchie sociale]

D'autre part, même si l'élève parvient à acquérir cette technique, celle-ci est souvent vite oubliée.

[Si l'on n'y a pas passé beaucoup de temps parce que "ça prend beaucoup de temps", il l'oubliera d'autant plus vite. Une étude "scientifique" soigneusement menée devrait même montrer que plus on s'enfonce dans l'ornière de la recherche du sens sans pratique des opérations –  système qui a l'avantage de s'autoalimenter et de croître avec le temps au fur et à mesure que les capacités des élèves décroissent –  devrait permettre d'établir un tableau statistique corrélant ce qui est affirmé ici : dans cette dynamique, l'investissement en temps d'apprentissage de la division manuelle devient de plus en plus improductif, ce qui justifie "scientifiquement" que l'on ne doit pas y "perdre du temps". Au point de vue méthodologie, la variable décrivant l'influence des thèses pédagogiques modernistes sur les capacités de compréhension des élèves n'apparaîtra pas : ce sera une variable "cachée".
mmemechose pour les redoublements ref**]

- la division doit être liée à la question "combien de fois" un nombre est-il contenu dans un autre. On travaillera d'abord par soustractions successives (combien de boîtes de 6 œufs peut-on remplir complètement avec 26 oeufs ? Combien reste-t-il d'œufs à ranger ?). On posera aussi des problèmes pour retrouver le dividende (on a rempli 8 boîtes de 6 oeufs, il reste 4 oeufs à ranger, combien y en avait-il ?).
L'objectif est d'apprendre à l'élève à jongler de toutes les manières possibles avec les éléments de l'égalité (diviseur x quotient) + reste = dividende : en connaissant trois éléments, il doit savoir déterminer le quatrième. Mais l'égalité précédente n'est pas forcément claire pour qui ne maîtrise pas encore la priorité des opérations ou le rôle des parenthèses.

[Attention : c'est là que c'est original]

C'est pourquoi, à seule fin de mieux mémoriser le rôle de chaque élément, on proposera encore la disposition classique, mais en restant dans le champ de la table de multiplication liée au diviseur (si on divise par 6, le dividende ne dépassera pas 60) :

 26| 6
   2|4

 soit : dividende |  diviseur
         reste          |  quotient

[Celà signifie donc que la division à la française, avec quotient et reste "a du SENS" ; mais en la limitant à ce type de division, c'est-à-dire en ne l'employant plus, elle perdra elle aussi son sens]

 - la division euclidienne sera vue également en encadrant le dividende par deux multiples consécutifs du diviseur. La façon dont est posée la question est importante et permet un travail  sur la lecture et la compréhension (combien faut-il de boîtes de 6 oeufs pour transporter 26 oeufs ? Cette fois la réponse est 5).
 - la division exacte dans l'ensemble des nombres entiers sera également vue comme opération réciproque de la multiplication (par exemple, en liaison avec la géométrie, on fera retrouver une dimension d'un rectangle connaissant l'aire et une autre dimension).

 Fractions simples : écriture, comparaison de fractions de même dénominateur.

 Le dénominateur donne le nom (il "dénomme") : si on coupe une tarte en 3 ou en 4, chaque portion s'appelle un tiers ou un quart. Cas particulier des fractions égales à 1.
Les dénominateurs ne doivent pas excéder 20, sauf, dans le cas des fractions en centièmes, millièmes...
 Les fractions que l'on compare sont données d'emblée au même dénominateur. Les dénominateurs ne doivent pas excéder 20. On se limitera aux fractions inférieures ou égales à 1.

[Ça, c'est pas loin de la division, alors je cause. Comme l'ensemble des fractions inférieures à 1 est fermé pour l'addition (!!!), les élèves qui, par mégarde, utiliseront l'outil –  assez primitif –  que l'on propose pour additionner 1/3 et 1/2 seront le bec dans l'eau. Car, comme on leur aura fait pratiquer assez longuement les fractions avec des fractions qui sont exclusivement de numérateur 1, ils assimileront fraction et fraction de dénominateur 1 ce qui fait qu'ils devront réapprendre ce qu'est une fraction : on le voit au collège où il faut annuler l'apprentissage pécédent pour aborder le calcul sur les fractions. La solution est là aussi dans les méthodes et les progressions antérieures aux années 60 : pas d'atomisation de la pensée de l'élève en séparant les fractions plus grandes que 1 et celles inférieures à 1 d'une part et d'autre part pas de séparation entre l'apprentissage de la notion de fractions et l'addition et la soustraction de celles-ci. Dans la progression prévue dans le Bodard de chez Nathan de CM1 conforme au programme de 1957, il y avait 15 jours / 3 semaines prévus entre le début de l'apprentissage des fractions (fractions de dénominateur 1) et celui de l'addition/soustraction de toutes les fractions de dénominateur égal]

Nombres décimaux

• Écriture à virgule, écriture fractionnaire, passage d'une écriture à l'autre.
• Ordre sur les décimaux (comparaison, encadrement). Placer un nombre entre deux nombres décimaux. La notion de nombres décimaux consécutifs n'a pas de sens.
• Calculs

 - calculs écrits : addition et soustraction de deux décimaux ; multiplication d'un décimal par un entier ;
 - calcul mental : somme de deux décimaux quand le résultat est un entier (3,75 + 5,25 ou 3,6 + 8,4). Division par 2, par 4 ou par 5 d'un nombre entier, y compris lorsque le résultat est un  nombre décimal. Recherche de l'ordre de grandeur en utilisant les valeurs approchées entières (en excluant les décimaux inférieurs à 1) ;
 - usage de la calculette pour les autres opérations.

[Ça coince au detour d'une phrase : "Que sont les "autres" opérations ?" Tout ce qu'on ne sait pas faire à la main et qu'on effectue à la calculette ?]
 

Les nombres décimaux :
 

En découvrant la division décimale de deux entiers, l'élève devra se familiariser avec les écritures synonymes d'un nombre (un quart, c'est aussi 25/100 ou 0,25). Cette maîtrise des diverses   écritures d'un même nombre est un des objectifs prioritaires du cycle 3.
• Problèmes :

 - relevant de l'addition ou de la soustraction de deux décimaux, de la multiplication ou de la division d'un décimal par un entier, de la division décimale de deux entiers ;
[ Les patates doivent donc toujours avoir la propriété de peser un nombre entier de kg : on est rassuré]
- utilisant un pourcentage qui indique l'importance d'une partie par rapport à un tout (les pourcentages d'augmentation et de baisse ne sont pas au programme) :
 - utilisant une échelle, en liaison avec la géographie ou la lecture d'un plan.

  Problèmes :
se confronter à des problèmes est une activité essentielle en mathématiques, en particulier pour percevoir le besoin d'outils nouveaux. On continuera à proposer à l'élève  quelques problèmes ayant plusieurs solutions et on l'amènera à se demander s'il a trouvé toutes les solutions possibles. On proposera aussi des énoncés dont les données sont surabondantes ou bien insuffisantes pour conclure.
Lorsqu'un problème conduit à une division, c'est le contexte qui indique si le résultat cherché doit être donné par un nombre entier (avec un reste éventuel) ou par un nombre décimal.
L'élève doit donc apprendre à le prévoir dès la lecture de l'énoncé (le nombre de places de cinéma que l'on peut acheter avec 150 F est un nombre entier, la longueur d'un rectangle peut être un nombre décimal). En liaison avec la mesure, le maître habitue l'élève à ne pas recopier toutes les décimales de sa machine.
Une calculette donne en général le résultat d'une division sous forme décimale, même si cela n'a aucun sens pour le problème considéré. Il faut donc former l'élève à interpréter le résultat  donné par sa calculette car la réponse dépend de la question. Ainsi, plusieurs questions amènent à taper la division 26 : 6 = 4,333333 :
 

- combien faut-il de boîtes de 6 oeufs pour transporter 26 oeufs ? (réponse : 5)
- combien de boîtes de 6 oeufs peut-on remplir complètement avec 26 oeufs ? (réponse : 4)
- quelle est la largeur d'un rectangle de 6 cm de long et de 26 cm2 de surface ? (4,3 cm ou 4,33 cm)

    Face à un problème, la capacité d'initiative doit être encouragée. L'analyse des erreurs et de leurs causes est également à développer, ainsi que la comparaison de raisonnements différents.

Langage des pourcentages :
on se limite aux pourcentages traduisant le rapport d'une partie à un tout servant de référence.

[C'est de la même veine que la limitation des fractions celles dont le numérateur est inférieur au dénominateur, puisque x% = x/100 ]

Les taux d'augmentation ou de baisse ne sont pas au programme.

[Pour sûr, Arthur! Car les diminutions ne dépassent pas 100% tandis que les augmentations peuvent les dépasser]

Le maître introduit l'idée que certains nombres isolés ne donnent pas une information suffisante (savoir qu'il y a 60 femmes députés ne dit pas si c'est "beaucoup"...). Il amène l'élève à sentir l'importance de se demander "sur combien ?". Cette expression courante introduit l'idée de diviser. La division de l'effectif d'une partie par celui du tout mène à un nombre décimal qui se dit en pourcentage (0,18 se dira 18 % de...; 0,182 se dira aussi 18% en arrondissant). Les pourcentages sont un mode d'expression et non une façon à part de calculer.
Le calcul de l'effectif d'une partie connaissant le pourcentage et l'effectif du tout sera vu au collège.
 Le maître insiste sur le fait que toute conclusion incluant un pourcentage "partie/tout" doit comporter l'ensemble de référence (18 % de quoi ?).
 Il fait observer des comparaisons de pourcentages semblables portant sur garçons-filles ; hommes-femmes (par exemple pourcentage des filles de l'école faisant un sport, pourcentage  équivalent des garçons. Un pourcentage plus grand pour les garçons ne signifie pas forcément qu'il y a plus de garçons que de filles faisant du sport).
 L'élève doit mémoriser les pourcentages correspondant aux fractions usuelles (1/2; 1/3; 1/4 et 1/5).

Identification des situations de proportionnalité

 • Situation de proportionnalité : répétition additive d'une valeur unitaire (pour chaque baguette de pain achetée, on paye le même prix). Les tableaux de proportionnalité et le coefficient de  proportionnalité ne sont pas au programme.
• Lecture et construction de diagrammes en bâtons, l'une des variables étant non numérique (populations ou superficies de divers pays par exemple). Les graphiques circulaires et les  représentations graphiques de fonctions numériques ne sont pas au programme.

L'objectif prioritaire est d'apprendre à identifier les situations de proportionnalité.

Les situations de proportionnalité sont les seules situations pour lesquelles un seul couple de données (par exemple, une quantité et le prix correspondant) détermine toute l'information.

[La manière d'aborder la proportionnalité sera critiquée plus tard. Mais on ne peut passer sous silence une innovation en matière mathématique qui est donnée ici : c'est la première fois que les "sages" chargés d'établir les programmes donnent une définition mathématiquement fausse de la proportionnalité. En effet si l'on prend comme exemple de situation: "12 personnes partagent un repas qui dure 3 heures", situation où justement "un seul couple de données détermine toute l'information" n'est pas une situation de proportionnalité.]

 Si on connaît le prix de 3 m de tissu, on peut trouver le prix de n'importe quel métrage en passant par la valeur unitaire (c'est la règle de trois). Mais il demeure utile de présenter aux élèves les économies de calcul possibles dans le cadre de ces situations répétitives : si on connaît le prix de 3 m, on peut trouver celui de 6 m, 9 m, 12 m... sans passer par la valeur unitaire, et si  on connaît à la fois le prix de 3 m et celui de 5 m, on a directement le prix de 8 m, on utilisera la règle de trois. Passer systématiquement par la valeur unitaire serait signe d'un dressage  n'ayant aucune valeur éducative.

Afin de ne pas mêler deux notions nouvelles, on se limite à des exemples utilisant les nombres entiers déjà familiers aux élèves. Il importe de montrer aussi des contre-exemples : en particulier on aidera les élèves à écarter la proportionnalité dans les situations où elle ne s'applique pas (prix d'objets vendus en lot inférieur au prix d'un objet vendu seul).

 On évitera de recourir artificiellement à la proportionnalité lorsqu'une simple division répond à la question posée.
 Enfin, la proportionnalité ne sera pas liée aux échelles et aux pourcentages durant la scolarité élémentaire. Ce sera fait au collège, lorsque la définition du lien proportionnel entre deux grandeurs sera donnée.