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Quel enseignement des mathématiques ?

Avec l'aimable autorisation de Rudolf Bkouche.


Interview publiée en version légèrement écourtée dans l’US Magazine n°555, novembre 2001, rubrique " débat opinion ", pp. 8-9.

Lors du colloque de décembre 2000 sur la formation des scientifiques, R. Bkouche est intervenu à plusieurs reprises dans les débats, donnant un autre éclairage sur les questions relatives à l’enseignement des mathématiques et plus généralement des sciences. Nous avons voulu en savoir plus…

Lors du colloque vous avez dénoncé le conformisme actuel que constitue l’innovation et rappelé qu’ils existent des savoirs pérennes. Pourriez-vous préciser ?

L’idée de l'innovation, autant sur les contenus que sur les méthodes d'enseignement, renvoie à la réforme des maths modernes (années 70), réforme qui est née de l'idée qu’il fallait enseigner ce qui est moderne et l'enseigner d'une façon moderne : or la modernité n’est pas transparente, c'est peut-être la première leçon à retenir de l'échec de la réforme. L’objectif de l’enseignement du collège et du lycée est moins de raconter la modernité que de donner les moyens d’accès à cette modernité. La question se pose alors de définir la place de savoirs anciens dans l'enseignement d'aujourd'hui. On peut, par exemple, se demander si la géométrie d’Euclide est un savoir archaïque : pourquoi l’enseigne-t-on alors qu’on n'enseigne pas la physique d’Aristote ? La réponse n’est pas à chercher dans l’histoire mais dans la pertinence qu’il y a à enseigner un contenu pour la compréhension du monde d’aujourd’hui. La géométrie d’Euclide qui, avec la notion de corps solide, renvoie à nos premières expériences des objets de l’espace, est toujours présente dans les mathématiques et la physique d'aujourd'hui alors que la physique d’Aristote a été remplacée depuis Galilée par une physique mathématisée.

L’acquisition des connaissances passe par des démarches qui peuvent remonter très loin dans le passé mais qui restent des étapes nécessaires. Ainsi apprendre à marcher et à parler sont des activités archaïques et pourtant tout parent conséquent tient à ce que ses enfants acquièrent ces compétences !

Vous venez de parler d’échec pour la réforme des maths modernes, quelles en sont à votre avis, les raisons ?

Les enjeux qui ont conduit à la réforme sont divers :

- d'abord un enjeu interne : l’état des mathématiques au milieu du XXième siècle marqué par les méthodes formalistes de Hilbert. Quelles que soient les critiques qu’on peut faire aux méthodes formalistes, les travaux de Hilbert continués par Bourbaki, en mettant de l’ordre dans le fatras des connaissances de l’époque, ont ouvert de nouveaux horizons et ont contribué à la grande fécondité des mathématiques du XXième siècle. Mais l’erreur a consisté à croire que cette réorganisation des connaissances devait intervenir dès l’enseignement du second degré. Or elle ne peut être comprise dans sa profondeur que par qui a déjà acquis une culture mathématique.

- ensuite des enjeux externes : il faut rappeler ici le développement du structuralisme dans les sciences humaines de l'époque, et la confusion qui en est résulté dans les divers usages du mot "strucuture". On pourrait citer la rencontre entre Piaget et Dieudonné (du groupe Bourbaki) et la confusion qui en est résulté entre les structures-mères de Bourbaki (structures d'ordre, structures algébriques, structures topologiques) et les structures cognitives que Piaget voulait définir dans le cadre de l'épistémologie génétique ; c'est sur cette confusion que s'est construite en partie l'idéologie de la réforme.

- enfin, en ce qui concerne la France, la réforme s'est mise en place dans le contexte de la réforme Fouché, laquelle marque la fin de la démocratisation de l’enseignement. La volonté de démocratisation de l'enseignement s'appuyait sur un mythe, développé par Condorcet, à savoir que le progrès technique exige l'accès de la connaissance à tous. La réalité montre qu’il en a été autrement : la création des manufactures, puis des usines, la taylorisation du travail puis l'automation et l'informatisation nous ont appris que les formes modernes de production tendent à transformer les exécutants en simples appendices de la machine. En cela le progrès technique n'implique en rien la démocratisation de l'enseignement et la réforme Fouché, comme celles qui ont suivi, marque la fin de ce mythe, au moins dans les faits. La démocratisation de l'enseignement doit alors être repensée moins dans un cadre technique que dans un retour à l'humanisme des Lumières, ce qu'aucune réforme n'a su ou voulu prendre en compte.

Quel regard portez- vous sur la période qui a suivi, avec les programmes de 85 ?

Avec la réforme des maths modernes l’enseignement des mathématiques a perdu en profondeur. Les contre-reformes qui ont suivi, peut être par peur de ce qu’ont représenté les maths modernes, ont voulu éviter les difficultés en particulier celles de l’abstraction. On a fait porter le mal sur le formalisme et l’axiomatique sans distinguer entre le formalisme et l'axiomatique en tant qu'outils du mathématicien et les problèmes posés par l'apprentissage des mathématiques. A l’abstrait identifié à l'incompréhensible, on a voulu substituer un concret considéré comme plus accessible. Or il n’y a pas de science concrète (il y a tout au plus des effets "concrets" de la science) : la science se construit dans un processus d’abstraction. Si cela est oublié dans l’enseignement, on en reste à la leçon de chose ; si cette dernière me semble indispensable dans l'enseignement élémentaire, une véritable formation scientifique doit aller plus loin.

De plus, ces contre-réformes se sont faites dans un contexte marqué par le discours sur la fin des idéologies, des grands récits, certains parlant même de fin de l’histoire. Sous prétexte de concret les idées générales n’ont plus leur place dans l'enseignement, celui-ci se " centre sur l’élève ", avec des activités qui doivent le satisfaire ; on évolue ainsi vers une conception mercantile de l’enseignement : le professeur " vendeur de savoir  ", l’élève " acheteur ". Or, quelle que soit la discipline enseignée, il y a des contraintes objectives liées au contenu de cette discipline, lesquelles consuisent aux difficultés de la discipline ; l'apprentissage se situe alors dans la confrontation avec ces difficultés, difficultés dont on ne peut faire l'économie dans l'enseignement ; si on ne parle pas de ces difficultés aux élèves, ceux-ci n’ont aucune raison de les connaître et par conséquent seront démunis le jour où ils les rencontreront. Il est un principe incontestable de l’enseignement : " tout ce qui n’est pas dit n’est pas entendu ! ". En voulant gommer les difficultés des mathématiques, on a tué l’enseignement des mathématiques, y compris le plaisir de faire des mathématiques. On pourrait en dire autant de toutes les disciplines.

Dans le préambule des programmes des programmes de 85 il est dit que " le cours est une synthèse des activités ". Durant cette période le cours traditionnel magistral est décrié.

Le " traditionnel " est une notion idéologique réinventée constamment, au fur et à mesure des réformes successives ! Le "traditionnel devient ainsi un "avant" indifférencié que l'on défendra ou que l'on pourfondra au gré des ses préférences idéologiques, oubliant que l'on peut faire des mathématiques dites traditionnelles avec un prof traditionnel de façon très vivante (j’en ai connu dans les années 50, c'est cela qui m'a conduit à aimer les mathématiques) et au contraire faire des mathématiques dites modernes de façon très morte ou faire des activités de façon stupide.

Qu’est ce que l’activité de l’élève ? On demande à l’élève de jouer au petit savant, d’inventer, voire de construire son propre savoir ; imagine-t-on de lui demander de piloter un avion, d’opérer un malade… ? Non ! Les risques seraient trop grands. On oublie que pour l’enfant, jouer c’est d’abord imiter. On ne peut demander à l’élève de faire des démonstrations si le professeur n’en a jamais faites. Faire une démonstration au tableau, y compris dans le cadre d'un cours magistral, ce n’est pas seulement écrire une démonstration, c’est en expliquer les enjeux, les techniques …(ce qui n'implique pas que l’élève va tout comprendre tout de suite mais les maths se comprennent dans le temps, même pour un professionnel). Le travail personnel de l’élève, c’est alors d’essayer de comprendre le cours qu'il a reçu, de faire les exercices qu’on lui propose, et seulement à partir de là d'inventer s'il en a le désir.

En évacuant la démonstration du cours, on continue de confondre discours théorique et formalisme. On oublie le sens originel de la démonstration : en savoir plus par le seul discours ? La question de la légitimité de ce discours vient dans un deuxième temps et c'est une façon de repenser la pratique de la démonstration de poser les questions de logique sous-jacente.

Que pensez-vous de la place donnée, dans les nouveaux programmes de lycée, à l’expérimentation et aux conjectures ?

La " conjecturite " est un fantasme de didacticien : les conjectures ont rarement résulté d’une observation. On ne sait comment Fermat est arrivé à sa conjecture mais il avait des raisons profondes dues à ses lectures de Diophante et à ses connaissances de l’arithmétique. Dans le discours à la mode sur la séquence : " observer, conjecturer, démontrer ", outre le fait qu'il est extérieur à toute pratique scientifique, il y a le risque que l’élève à qui on demande d’émettre une conjecture se dise " qu’est-ce que le professeur attend ? " au lieu de " qu’est-ce que je fais ? " : l’enseignement devient alors dressage.

Au cours du colloque, lorsqu’il était question d’interdisciplinarité, vous avez dit que les connaissances se construisent dans les disciplines. Comment concevez vous l’interdisciplinarité par exemple entre les disciplines scientifiques ?

Le discours actuel laisse entendre qu’il y a aujourd'hui une volonté de faire de l’interdisciplinarité et de décloisonner les disciplines mais que cette volonté se heurte au corporatisme des enseignants enfermés dans leur discipline ; un tel discours est de mauvaise foi, outre le mépris envers les enseignants il conduit à diluer le savoir dans un magma in-signifiant. En outre il ignore la façon dont le lien entre les diverses disciplines était pris en charge dans l'enseignement dit traditionnel.

Prenons l'exemple de la proportionnalité. Regardons comment les ouvrages de l'enseignement élémentaire ou du collège du milieu du XXe siècle parlaient de la proportionnalité : on y traite des problèmes d’alliage, de mélange, de pourcentage, on utilise la " règle de trois ", vouée aux gémonies depuis la réforme des mathématiques modernes. Une recette dit-on . Oui, comme toute procédure de calcul devient recette mécanique une fois que l'on sait en user, mais d'abord raisonnement sur les grandeurs sur lesquelles on travaille, grandeurs géométriques, physiques, mécaniques… En privilégiant aujourd'hui les tableaux de nombres on a réduit la notion de proportionnalité au seul domaine numérique et on a supprimé toute intuition, en cela on ne sait plus de quoi on parle, on sait seulement qu'il faut faire, mais faire quoi ?

Il a différentes façons de parler d’interdisciplinarité : certaines relèvent de l’œcuménisme : " il faut que ça se rencontre " sans que l'on sache bien qui est le " ça ". Il y a alors des rencontres artificielles qui ne signifient rien et on oublie les rencontres profondes, celles où deux ou plusieurs disciplines se rencontrent autour d'un problème, ainsi la proportionnalité citée ci-dessus, ainsi l'intervention des équations différentielles en mécanique et en physique, moins comme outil mathématique pour la physique ou comme exercices d'applications des mathématiques que comme point commun aux deux disciplines ; on pourrait citer par exemple le rôle des équations différentielles à coefficients constants dans l'étude de la résonance où mathématiques et physique s'interpénètrent. Il faudrait aussi citer la géométrie élémentaire, celle des Éléments d'Euclide, dont on trop oublié qu'elle est un chapitre de la physique.

Mais la géométrie d'Euclide, c’est d’abord la démonstration et la démonstration est constitutive des mathématiques. La physique est une science expérimentale.

Tout d’abord toute physique constituée est une science déductive. L’électrocinétique avec la loi d'Ohm U=Ri et ses conséquences, comme par exemple l'étude de l'équilibre du pont de Wheatstone, constitue une théorie déductive. L’expérimentation ne fait que vérifier que la théorie marche bien, avec des instruments construits eux-mêmes selon la loi d’Ohm. L'expérience est ici moins constitutive de la connaissance que vérification de la cohérence entre le théorique et l'expérimental.

Quant à l’expérimentation en géométrie, elle existe ( bien avant l’ordinateur, même si celui a augmenté les possibilités d'expérimentation des mathématiques) ; il suffit de regarder les nombreux instruments de mesure de longueurs, d’angles, de géodésie, les jeux de miroirs… Il y a une propriété physique remarquable de l'espace : il n’existe que cinq polyèdres réguliers dans l’espace. Cette propriété est essentiellement théorique et nous apprend que l'on ne peut pas construire d'autres polyèdres réguliers que les cinq canoniques ; mais elle nous apprend aussi comment construire ces cinq polyèdres réguliers, c'est le résultat profond du XIIIe Livre des Éléments d'Euclide, ce que certains considèrent comme l'apothéose de l'ouvrage. Ici la liaison pratique-théorique est très forte.

Il nous faut alors rappeler que l'idée de travaux pratiques en mathématiques est bien antérieure aux ordinateurs : Emile Borel en avait déjà parlé lors de la réforme de 1902 avec le projet de laboratoire de mathématiques comme il en existait en physique. Enfin le renvoi ci-dessus à l'électrocinétique nous rappelle que les objets de la physique sont tout aussi idéaux que les objets géométriques : que sont U, R, i qui apparaissent dans la loi d'Ohm, ou F, m, g qui apparaissent dans l'équation fondamentale F = mg de la mécanique, en quoi sont-ils des données premières de l'expérience ? Ils sont en fait plus difficiles d'accès que les objets de la géométrie et ce n'est pas par le seul fait du hasard que la science géométrique se soit constituée comme science bien avant la mécanique. Dans ces conditions, on peut considérer que la distinction entre mathématiques et physique s'appuie, en ce qui concerne la géométrie, sur une tradition dans la mesure où la géométrie s'est constituée très tôt comme science rationnelle, ce qui a conduit à oublier son caractère de science physique.

Lors de la table ronde sur l’histoire des sciences, vous avez déclaré qu’il ne fallait pas introduire dans le second degré un enseignement supplémentaire dit d’histoire des sciences. Comment, à votre avis donner une perspective historique à l’enseignement des sciences ?

Voilà 25 ans qu’existe la commission Inter-Irem "Histoire des Maths et Épistémologie" et la pire des choses est arrivée : on nous a entendus et l’histoire des maths est devenue à la mode (heureusement plus dans le discours que dans la réalité de l’enseignement). On a voulu croire que l'histoire des mathématiques allait faciliter l'enseignement des mathématiques. Je me souviens d’un mathématicien portugais qui, au cours d’un colloque, a dit avec humour : "  nous sommes contents : l’histoire des maths va permettre de comprendre les maths ; mais alors qu’est ce qui va permettre de comprendre l’histoire des maths ? ".

L’essentiel dans l’enseignement est la problématisation et l’histoire des sciences peut y aider. Mais enseigner le concept de gravitation universelle ce n’est pas raconter la vie de Newton !

Si, pour enseigner l’analyse, on raconte le calcul différentiel selon Leibniz, les élèves n'y comprendront rien, ou alors l’enseignant aura reconstruit le discours de Leibniz pour montrer comment on peut penser " algébriquement " le calcul différentiel ; il s'agit alors moins de proposer l'étude de Leibniz aux élèves que de montrer une façon d'aborder l'analyse, ce qui ressortit essentiellement du travail du professeur. Dans ce cas l'apport essentiel de l’histoire est pour le professeur, c'est à lui qu'il revient de s'appuyer sur l'histoire pour construire son cours, et c'est à lui qu'il revient de juger de l’opportunité ou non d’étudier un texte historique dans sa classe comme moyen de mieux comprendre, de confronter les élèves à un autre point de vue, de donner des ouvertures… mais surtout pas pour rendre l’enseignement plus facile. Le choix d’une progression s'appuyant sur l'histoire ou non, relève de la responsabilité du professeur : la maîtrise de sa discipline et la connaissance de l’histoire de celle-ci doivent le lui permettre. Il est cependant une chose à retenir de l’histoire : les idées simples arrivent en dernier ; ce qui pose la question de la place du simple dans l'enseignement : faut-il enseigner le simple au début ou à la fin d'un chapitre ? Une réflexion autant épistémologique que didactique nous apprend qu'il n'y a pas de réponse définitive à cette question.

Vous avez porté un jugement assez négatif sur l’état de l’enseignement des mathématiques au niveau du second degré. Qu’en est il de l’enseignement supérieur ? Les professeurs de collège et lycée sont formés à l’université : d’une certaine façon ils reproduisent l’enseignement qu’ils ont reçu, c’est à dire un enseignement non situé sur le plan historique et par rapport aux autres disciplines connexes.

L’enseignement universitaire ne va pas mieux. Mais il faut prendre le problème dans sa globalité pour sortir d’un débat corporatiste entre enseignements du second degré et universitaires.

Il y a dans l’enseignement scientifique une tendance à la technicisation, tendance renforcée par le contrôle des connaissances ; le poids des examens et des notes contribue à mercantiliser l’enseignement et à faire oublier aux professeurs comme aux élèves les raisons pour lesquelles on enseigne un domaine de la connaissance. Lorsque les enjeux n’apparaissent plus dans l’enseignement, celui-ci devient une espèce de parcours obligé : " il faut en passer par-là ", lequel conduit à des réactions d’élèves aussi caricaturales que celle-ci, citée par Bernard Charlot :  " Les professeurs devraient comprendre que les jeunes ne peuvent s'intéresser à toutes ces balivernes qui n'intéressent même pas les adultes ", paroles qui expriment l'in-signifiance du discours enseignant moins parce que ce discours relève de la baliverne que, parce qu'ayant perdu toute signification, tant pour celui qui le reçoit que pour celui qui le dit, il ne peut qu'être rejeté.

Pourquoi enseigne-t-on le théorème de Thalès ? Si c’est pour mettre une note à un exercice pour passer dans la classe supérieure, alors oui, c’est une baliverne. Si c’est pour le rôle qu’il joue dans la résolution de problèmes de géométrie et de physique, et si on s’interroge sur les enjeux épistémologiques (connaissance de la discipline ou de ses rapports avec d’autres domaines de la connaissance) ou sur les enjeux sociaux ou culturels qui ont mené à cette construction, alors ce n’est plus une baliverne.

Lorsqu’en 1989, une sonde spatiale est arrivée au voisinage de Neptune au moment voulu, ce fut un exploit remarquable, lequel exploit n’est pas que technique : il n’aurait pas existé sans la mécanique analytique développée depuis Lagrange, la théorie des équations aux dérivées partielles développées au XIXe et XXe siècles, les calculs d’approximations. Or il intéressant d’entendre, dans une enquête sur les jeunes et la science, des lycéens expliquer combien un tel exploit est remarquable et en même temps dire que ce qu’on apprend à l’école est inintéressant. Mais comment expliquer dans l'enseignement scientifique le rapport, loin d'être évident, entre les exploits techniques et les contraintes du travail scientifique, contraintes dont c'est l'un des rôles de l'enseignement d'apprendre à les maîtriser. La culture scientifique se situe dans ce lien entre le rôle de la science et le développement technique qu'elle permet et l'enseignement scientifique. Mais cela implique que l'enseignement prenne en charge les divers enjeux de l'activité scientifique ; en ce sens la culture scientifique est partie intégrante de l'enseignement scientifique

Il y a actuellement une illusion créée avec Internet, celle de l’accès libre au savoir. Lorsqu’on a devant soi la théorie des distributions de L Schwartz, qu’elle soit sur papier ou sur écran, la difficulté n’est pas dans le support, mais dans le contenu même. On ne peut ici faire l'économie des difficultés que pose l'accès à la connaissance scientifique et l'usage d'Internet ainsi que les discours à la mode sur l'enseignement en ligne risque d'occulter le fait que l'accès à la connaissance scientifique relève d'une activité intellectuelle.

On parle beaucoup aujourd'hui d'échange des savoirs. Il faut alors distinguer les divers types de savoir, les hiérarchiser, non selon une valeur sociale qui distinguerait les savoirs nobles et les autres mais selon les difficultés qu'ils posent et les contraintes qu'ils exigent. Certains savoirs ne sont accessibles qu'après un long travail ; on ne peut accéder à la théorie de la relativité si l'on n'a pas acquis la culture nécessaire pour la comprendre. La liberté d’accès au savoir n’a de sens que si on a les moyens de l’exercer.

Ceci nous renvoie au discours sur l'autonomie des élèves, des apprenants comme dit le jargon pédagogiste. Il faut alors savoir combien ce discours sur l'autonomie est frelaté : on ne s’autoproclame pas autonome mais on acquiert l’autonomie au prix d’efforts : cette acquisition passe par la reconnaissance et l'acceptation de ces efforts.


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